什么是西格瑪領(lǐng)域？
集合論有許多思想支持概率。一個這樣的想法是西格瑪領(lǐng)域。sigma字段指的是我們應(yīng)該使用的樣本空間子集的集合，以建立概率的數(shù)學(xué)形式定義。sigma字段中的集合構(gòu)成了樣本空間中的事件。
Definition
sigma字段的定義要求我們有一個樣本空間S以及S的子集的集合。如果滿足以下條件，則此子集集合為sigma字段：
- 如果子集19 A 20在sigma字段中，那么它的補碼21 A 22 C 24也是如此。如果27 A 28是sigma字段中無限多的子集，那么所有這些集合的交集和并集都在sigma字段中。29
含義
定義意味著兩個特定的集合是每個sigma字段的一部分。由于A和AC都在sigma字段中，因此交點也是如此。這個交集是空的。因此，空集是每個sigma字段的一部分。
樣本空間S也必須是sigma字段的一部分。原因是A和AC的并集必須在sigma字段中。此并集是樣本空間S。
推理
這個特定集合有用的原因有幾個。首先，我們將考慮為什么集合及其補充都應(yīng)該是西格瑪代數(shù)的元素。集合論中的補充等同于否定。A的補碼中的元素是通用集中不是A的元素的元素。通過這種方式，我們確保如果事件是樣本空間的一部分，那么未發(fā)生的事件也被視為樣本空間中的事件。
我們還希望集合的并集和交集在sigma代數(shù)中，因為并集可用于對“or”一詞進行建模。a或B發(fā)生的事件由a和B的并集表示。類似地，我們使用交集來表示單詞“and”。發(fā)生82 A 83和84 B 85的事件由集合86 A 87和88 B 89的交集表示。
物理上不可能與無限數(shù)量的集合相交。但是，我們可以認為這是有限過程的限制。這就是為什么我們還包括可數(shù)許多子集的交集和聯(lián)合。對于許多無限的樣本空間，我們需要形成無限的并集和交叉點。
相關(guān)想法
與sigma字段相關(guān)的概念稱為子集字段。子集領(lǐng)域不要求可數(shù)無限的聯(lián)合和交集成為它的一部分。相反，我們只需要在子集字段中包含有限的并集和交叉點。
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