如何找到正態(tài)分布的拐點(diǎn)
數(shù)學(xué)有一點(diǎn)很好，就是這個(gè)看似無關(guān)的領(lǐng)域以令人驚訝的方式聚集在一起。其中一個(gè)例子是應(yīng)用從微積分到鐘形曲線的想法。稱為導(dǎo)數(shù)的微積分工具用于回答以下問題。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖上的拐點(diǎn)在哪里？
拐點(diǎn)
曲線具有可以分類和分類的各種功能。與我們可以考慮的曲線有關(guān)的一個(gè)項(xiàng)目是函數(shù)的圖形是增加還是減少。另一個(gè)功能涉及稱為凹度的事物。這大致可以被認(rèn)為是曲線的一部分面對(duì)的方向。更正式的凹陷是曲率的方向。
如果曲線的形狀像字母U一樣，則稱曲線的一部分是凹的。如果曲線的形狀像下面的∩，則曲線的一部分是凹的。如果我們想到一個(gè)向上凹陷或向下凹陷的洞穴開口，很容易記住這是什么樣子。拐點(diǎn)是曲線改變凹度的地方。換句話說，這是曲線從凹向上到凹向下的點(diǎn)，反之亦然。
18二階導(dǎo)數(shù)19 20
在微積分中，導(dǎo)數(shù)是一種以各種方式使用的工具。雖然導(dǎo)數(shù)最著名的用途是確定給定點(diǎn)處曲線切線的斜率，但還有其他應(yīng)用。其中一個(gè)應(yīng)用程序與查找函數(shù)圖的拐點(diǎn)有關(guān)。
如果y=f（x）的圖在x=a處具有拐點(diǎn)，則f的二階導(dǎo)數(shù)在a為零。我們用數(shù)學(xué)符號(hào)寫成f“（a）=0。如果函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)上為零，則不會(huì)自動(dòng)暗示我們已經(jīng)找到了一個(gè)拐點(diǎn)。但是，我們可以通過查看二階導(dǎo)數(shù)為零的位置來尋找潛在的拐點(diǎn)。我們將使用這種方法來確定正態(tài)分布拐點(diǎn)的位置。
鐘形曲線的拐點(diǎn)41 42具有均值μ和σ標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為
f（x）=1/（σ√（2π））exp[-（x-μ）2/（2σ2）]。
在這里，我們使用符號(hào)exp[y]=ey，其中e梨的小知識(shí)是近似為2.71828的數(shù)學(xué)常數(shù)。
通過知道ex的導(dǎo)數(shù)并應(yīng)用鏈規(guī)則，可以找到該概率密度函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。
f'（x）=-（x-μ）/（σ3√（2π））exp[-（x-μ）2/（2σ2）]=-（x-μ）f（x）/σ2。
我們現(xiàn)在計(jì)算這個(gè)概率密度函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。我們使用產(chǎn)品規(guī)則來查看：
f''（x）=-f（x）/σ2-（x-μ）f'（x）/σ2
簡(jiǎn)化我們的表達(dá)式
f''（x）=-f（x）/σ2+（x-μ）2f（x）/（σ4）
現(xiàn)在將這個(gè)表達(dá)式設(shè)置為零，求解x。由于f（x）是一個(gè)非零函數(shù)，我們可以用這個(gè)函數(shù)劃分方程的兩邊。
0=-1/σ2+（x-μ）2/σ4
為了消除分?jǐn)?shù)，我們可以將兩側(cè)乘以140 141 142 4143
0=-σ2+（x-μ）2
我們現(xiàn)在接近我們的目標(biāo)。為了求解158 x 159，我們看到了
σ2=（x-μ）2
通過取兩側(cè)的平方根（并記住同時(shí)取根的正值和負(fù)值）
±σ=x-μ
由此很容易看出拐點(diǎn)出現(xiàn)在x=μ±σ的地方。換句話說，拐點(diǎn)位于平均值以上一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差和平均值以下一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。
