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在數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率中，熟悉集合理論是很重要的。集合論的基本操作與概率計(jì)算中的某些規(guī)則有關(guān)。聯(lián)合，交叉和補(bǔ)充的這些基本集合操作的相互作用由兩個(gè)稱為De Morgan定律的陳述來解釋。在陳述了這些法律之后，我們將看到如何證明它們。

德摩根法律聲明

德摩根的法律涉及工會，交叉和補(bǔ)充的互動。回想一下：

集合A和B的交點(diǎn)由A和B共有的所有元素組成。交點(diǎn)用A∩B表示。
集合A和B的并集由所有元素組成在A或B中，包括兩組中的元素。交點(diǎn)由A U B表示。
集合A的補(bǔ)碼由不是A的元素的所有元素組成。該補(bǔ)碼由A^C表示。

現(xiàn)在我們已經(jīng)回顧了這些基本操作，我們將看到德摩根定律的陳述。對于每對集合50 A 51和52 B 53

（A∩B）^C=A^CUB^C。
（AUB）^C=A^C∩B^C。

證明策略概述

在進(jìn)入證明之前，我們將考慮如何證明上述陳述。我們試圖證明兩套是彼此相等的。在數(shù)學(xué)證明中完成此操作的方式是通過雙重包含的過程。這種證明方法的概要是：

表明我們等號左側(cè)的集合是右側(cè)集合的子集。
以相反的方向重復(fù)該過程n、表明右側(cè)的集合是左側(cè)集合的子集。
這兩個(gè)步驟使我們可以說這些集合實(shí)際上彼此相等。它們由所有相同的元素組成。

法律之一的證明

我們將看到如何證明上述德摩根定律中的第一條。我們首先證明（A∩B）^C是A^CU的子集B^C。

∩B）^C。
這意味著x不是（A∩B）的元素。

由于交集是兩者共有的所有元素的集合153>A和B，前一步意味著157 x 158不能同時(shí)是159 A 160和161 B 162的元素。這意味著165 x 166 is必須是至少一組A 168 169 C 170或171 B 172 173 C 174的元素。根據(jù)定義，這意味著177 x 178是179 A 180 181 C 182 U的元素B^C
我們已經(jīng)顯示了所需的子集包含。

我們的證明現(xiàn)在已經(jīng)完成了。為了完成它，我們顯示了相反的子集包含。更具體地說，我們必須證明A^CUB^C是（A∩B）^C。