如何計(jì)算泊松分布的方差
隨機(jī)變量分布的方差是一個(gè)重要特征。該數(shù)字表示分布的擴(kuò)展，并且通過平方標(biāo)準(zhǔn)偏差來找到。一種常用的離散分布是泊松分布。我們將看到如何用參數(shù)λ計(jì)算泊松分布的方差。
6>泊松分布
當(dāng)我們有某種連續(xù)體并且在這個(gè)連續(xù)體中計(jì)算離散變化時(shí)，使用泊松分布。當(dāng)我們考慮在一小時(shí)內(nèi)到達(dá)電影票柜臺的人數(shù)，跟蹤穿過四路停車口的交叉口的汽車數(shù)量或計(jì)算發(fā)生在一段時(shí)間內(nèi)的缺陷數(shù)量時(shí)，就會發(fā)生這種情況。電線的長度。
如果我們在這些情況下做出一些明確的假設(shè)，那么這些情況與泊松過程的心理健康知識講座小結(jié)條件相匹配。然后我們說，計(jì)算變化次數(shù)的隨機(jī)變量具有泊松分布。
泊松分布實(shí)際上是指無限分布族。這些分布配備有單個(gè)參數(shù)λ。該參數(shù)是一個(gè)正實(shí)數(shù)，與連續(xù)體中觀察到的預(yù)期變化數(shù)密切相關(guān)。此外，我們將看到該參數(shù)不僅等于分布的平均值，而且等于分布的方差。
泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)由下式給出：
f（x）=（λxe-λ）/x！
在此表達(dá)式中，字母e是一個(gè)數(shù)字，是數(shù)學(xué)常數(shù)，其值大約等于2.718281828。變量x可以是任何非負(fù)整數(shù)。
計(jì)算方差54 55為了計(jì)算泊松分布的平均值，我們使用這個(gè)分布n's時(shí)刻生成函數(shù)。我們看到：
M（t）=E[EtX]=∑EtXf（x）=∑EtXλxE-λ）/x！
現(xiàn)在，我們回顧一下eu的Maclaurin系列。由于函數(shù)eu的任何導(dǎo)數(shù)都是eu，因此在零處評估的所有這些導(dǎo)數(shù)都給我們1。結(jié)果是序列eu=∑un/n！。
通過使用eu的Maclaurin系列，我們可以將矩生成函數(shù)表示為不是一個(gè)系列，而是以封閉形式表示。我們將所有項(xiàng)與指數(shù)x組合。因此，M（t）=eλ（et-1）。
我們現(xiàn)在通過取M的二階導(dǎo)數(shù)并在零處評估來找到方差。由于M'（t）=λetM（t），我們使用乘積規(guī)則計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)：
M''（t）=λ2e2tM'（t）+λetM（t）
我們在零處評估它，發(fā)現(xiàn)M''（0）=λ2+λ。然后，我們使用M'（0）=λ的事實(shí)來計(jì)算方差。
Var（X）=λ2+λ–（λ）2=λ。
這表明參數(shù)λ不僅是泊松分布的平均值，而且是其方差。
