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伽瑪函數(shù)是什么？

來(lái)源:教育資源網(wǎng) ? 發(fā)布時(shí)間:2020-12-03 07:59:35 ? 點(diǎn)擊:743

伽瑪函數(shù)是一個(gè)有點(diǎn)復(fù)雜的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)用于數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)。它可以被認(rèn)為是一種概括因子的方法。

作為函數(shù)的階乘函數(shù)

我們?cè)跀?shù)學(xué)生涯的早期就知道，為非負(fù)整數(shù)n定義的階乘是描述重復(fù)乘法的一種方法。它用感嘆號(hào)表示。例如：

三！=3 x 2 x 1=6和5！=5 x 4 x 3 x 2 x 1=120。

這個(gè)定義的一個(gè)例外是零因子，其中0！=1。當(dāng)我們查看階乘的這些值時(shí)，我們可以將n與n！配對(duì)！。這將給我們分（0,1），（1,1），（2,2），（3,6），（4,24），（***0），（6720）等。

如果我們繪制這些要點(diǎn)，我們可能會(huì)問(wèn)一些問(wèn)題：

  • 有沒(méi)有辦法連接點(diǎn)并填寫(xiě)圖表以獲取更多值？
  • 是否有一個(gè)函數(shù)與非負(fù)整數(shù)的階乘相匹配，但是在實(shí)數(shù)的較大子集上定義。

這些問(wèn)題的答案是“伽瑪函數(shù)”

伽瑪函數(shù)的定義

伽瑪函數(shù)的定義非常復(fù)雜。它涉及一個(gè)看起來(lái)非常奇怪的復(fù)雜公式。伽瑪函數(shù)在其定義中使用一些微積分，以及數(shù)字e與更熟悉的函數(shù)（如多項(xiàng)式或三角函數(shù)）不同，伽瑪函數(shù)被定義為另一個(gè)函數(shù)的不適當(dāng)積分。

伽瑪函數(shù)由希臘字母表中的大寫(xiě)字母伽瑪表示。這看起來(lái)如下：Γ（z）

伽馬函數(shù)的特征61,62

伽瑪函數(shù)的定義可用于演示許多身份。其中最重要的是（（64 z 65+1）66>zΓ（z）。我們可以使用這個(gè)，并且直接計(jì)算中Γ（1）=1的事實(shí)：

Γ（n）=（n-1）Γ（n-1）=（n家裝風(fēng)水常識(shí)-1）（n-2）Γ（n-2）=（n-1）！

上述公式建立了階乘函數(shù)和伽馬函數(shù)之間的聯(lián)系。這也給了我們另一個(gè)原因，為什么將零因子的值定義為等于1是有意義的。

但我們不需要在伽瑪函數(shù)中僅輸入整數(shù)。任何不是負(fù)整數(shù)的復(fù)數(shù)都在伽瑪函數(shù)的域中。這意味著我們可以將因子擴(kuò)展到非負(fù)整數(shù)以外的數(shù)字。在這些值中，最著名（和令人驚訝）的結(jié)果之一是Γ（1/2）=√π。

另一個(gè)類(lèi)似于**一個(gè)的結(jié)果是Γ（1/2）=-2π。實(shí)際上，當(dāng)將1/2的奇數(shù)倍數(shù)輸入到函數(shù)中時(shí)，伽瑪函數(shù)總是產(chǎn)生pi的平方根的倍數(shù)的輸出。

使用伽瑪函數(shù)

伽瑪函數(shù)出現(xiàn)在許多看似無(wú)關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。特別是，伽瑪函數(shù)提供的階乘的推廣在一些組合和概率問(wèn)題中是有幫助的。一些概率分布是根據(jù)伽馬函數(shù)直接定義的。例如，伽馬分布以伽馬函數(shù)表示。這種分布可以用來(lái)模擬地震之間的時(shí)間間隔。學(xué)生's t分布，可用于我們有未知總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的數(shù)據(jù)，卡方分布也用伽馬函數(shù)定義。

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