如何在數(shù)學(xué)中使用“如果只有當(dāng)”
在閱讀統(tǒng)計(jì)和數(shù)學(xué)時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)的一個(gè)短語(yǔ)是“當(dāng)且僅當(dāng)”。這個(gè)短語(yǔ)特別出現(xiàn)在數(shù)學(xué)定理或證明的陳述中。但是，這個(gè)說(shuō)法究竟是什么意思？
在數(shù)學(xué)中，當(dāng)且僅當(dāng)意味著什么？
要理解“當(dāng)且僅當(dāng)”，我們必須首先知道條件陳述的含義。條件語(yǔ)句是由另外兩個(gè)語(yǔ)句組成的語(yǔ)句，我們將用P和Q表示。為了形成條件語(yǔ)句，我們可以說(shuō)“如果P則Q”
以下是此類聲明的示例：
- 如果外面下雨，那么我會(huì)在走路時(shí)帶著傘。
- 如果你努力學(xué)習(xí)，那么你將獲得A.
- 如果n可被4整除，那么n可被2整除。
轉(zhuǎn)換和條件
其他三個(gè)陳述與任何條件陳述有關(guān)。這些被稱為相反，相反和相反。我們通過從原始條件更改P和Q的順序并為逆和反正插入單詞“not”來(lái)形成這些語(yǔ)句。
我們只需要在這里考慮相反的情況。這個(gè)陳述是從原來(lái)的說(shuō)法中得出的：“如果Q那么P?！奔僭O(shè)我們從條件開始：“如果外面在下雨，那么我?guī)е鴤阍谖易呗?。”這個(gè)陳述的反過來(lái)是“如果我在走路時(shí)帶著我的傘，然后在外面下雨?！?/p>
我們只需要考慮這個(gè)例子來(lái)認(rèn)識(shí)到原始條件在邏輯上與其相反并不相同。這兩種陳述形式的混淆被稱為逆向錯(cuò)誤。即使可能沒有在外面下雨肺結(jié)核健康知識(shí)講座，也可以在散步時(shí)戴傘。
再舉一個(gè)例子，我們考慮條件“如果一個(gè)數(shù)可被4整除，那么它可被2整除。”這個(gè)s陳述顯然是正確的。但是，此語(yǔ)句的相反“如果某個(gè)數(shù)字可被2整除，則可被4整除”是錯(cuò)誤的。我們只需要看一個(gè)數(shù)字，如6。雖然2除以這個(gè)數(shù)字，但4沒有。雖然最初的陳述是真實(shí)的，但相反卻不是。
雙條件
這給我們帶來(lái)了一個(gè)雙條件陳述，也被稱為"當(dāng)且僅當(dāng)"陳述。某些條件陳述也有相反的事實(shí)。在這種情況下，我們可以形成所謂的雙重條件陳述。雙條件陳述的形式為：
“如果P然后Q，如果Q然后P?！?/p>
由于這種構(gòu)造有點(diǎn)尷尬，特別是當(dāng)P和Q是它們自己的邏輯語(yǔ)句時(shí)，我們通過使用短語(yǔ)"當(dāng)且僅當(dāng)。"而不是說(shuō)"如果P則簡(jiǎn)化雙條件的陳述Q，如果Q則P"我們改為說(shuō)"P當(dāng)且僅當(dāng)Q。"時(shí);這種構(gòu)造消除了一些冗余。
統(tǒng)計(jì)示例
對(duì)于涉及統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的短語(yǔ)“if and only if”的示例，請(qǐng)僅查看有關(guān)樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差的事實(shí)。當(dāng)且僅當(dāng)所有數(shù)據(jù)值相同時(shí)，數(shù)據(jù)集的樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差等于零。
我們將這個(gè)雙重條件陳述分解為條件和相反。然后我們看到這個(gè)陳述意味著以下兩個(gè)方面：
- 如果標(biāo)準(zhǔn)偏差為零，則所有數(shù)據(jù)值均相同。
- 如果所有數(shù)據(jù)值均相同，則標(biāo)準(zhǔn)偏差等于零。
雙條件證明
如果我們?cè)噲D證明一個(gè)雙重條件，那么大部分時(shí)間我們最終都會(huì)分裂它。這使得我們的證明有兩部分。我們證明的一部分是“如果P那么Q”。我們需要證明的另一部分是“如果Q那么P”
95>Ne必要和充分條件雙條件陳述與必要和充分的條件有關(guān)。考慮“如果今天是復(fù)活節(jié)，那么明天是星期一”的聲明。今天復(fù)活節(jié)足以明天是星期一，但沒有必要。今天可能是復(fù)活節(jié)以外的任何星期天，明天仍然是星期一。
縮寫
短語(yǔ)“if and only if”在數(shù)學(xué)寫作中經(jīng)常使用，它有自己的縮寫。有時(shí)，短語(yǔ)“if and only if”中的雙條件被縮寫為“iff”。因此，語(yǔ)句“P if and only if Q”變?yōu)椤癙 iff Q”
