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數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)使用來(lái)自數(shù)學(xué)各個(gè)分支的技術(shù)來(lái)明確證明關(guān)于統(tǒng)計(jì)的陳述是真實(shí)的。我們將看到如何使用微積分來(lái)確定上面提到的與卡方分布的**值相對(duì)應(yīng)的卡方分布的值，以及找到分布的拐點(diǎn)。

在此之前，我們將一般討論**值和拐點(diǎn)的特征。我們還將研究一種計(jì)算**拐點(diǎn)的方法。

如何計(jì)算微積分模式

對(duì)于離散數(shù)據(jù)集，模式是最常出現(xiàn)的值。在數(shù)據(jù)的直方圖上，這將由**條表示。一旦我們知道**欄，我們將查看與該欄底部相對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)值。這是我們數(shù)據(jù)集的模式。

使用相同的想法來(lái)處理連續(xù)分布。這次找到模式，我們尋找分布中的**峰。對(duì)于這種分布的圖形，峰的高度是y值。這個(gè)y值被稱為我們圖表的**值，因?yàn)樵撝荡笥谌魏纹渌鹹值。模式是與該**y值相對(duì)應(yīng)的沿水平軸的值。

雖然我們可以簡(jiǎn)單地查看分布圖來(lái)找到模式，但這種方法存在一些問(wèn)題。我們的準(zhǔn)確性僅與我們的圖表一樣好，我們可能需要估算。此外，繪制我們的功能可能會(huì)有困難。

不需要繪圖的替代方法是使用微積分。我們將使用的方法如下：

從我們分布的概率密度函數(shù)f（x）開(kāi)始。
計(jì)算此函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)：f'（x）和f''（x）
設(shè)置此第一個(gè)派生vative等于零f'（x）=0。
求解x。
將前一步的值轉(zhuǎn)換為二階導(dǎo)數(shù)并進(jìn)行評(píng)估。如果結(jié)果為負(fù)，那么我們?cè)谥祒處有一個(gè)局部**值。
在所有點(diǎn)x處評(píng)估我們的函數(shù)f（x）。前一步。
評(píng)估其支持的任何端點(diǎn)上的概率密度函數(shù)。因此，如果函數(shù)具有由閉合間隔[a，b]給出的域，則評(píng)估端點(diǎn)a和b處的函數(shù)。
**值在步驟6和7中將是函數(shù)的****值。出現(xiàn)此**值的x值是分布模式。

卡方分布模式

現(xiàn)在我們通過(guò)上述步驟來(lái)計(jì)算r自由度的卡方分布模式。我們從本文圖像中顯示的概率密度函數(shù)f（x）開(kāi)始。

f（x）=Kx^r/2-1e^-x/2

這里K是一個(gè)常數(shù)，涉及伽馬函數(shù)和2的冪。我們不需要知道具體信息（但是我們可以參考圖像中的公式）。

這個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是通過(guò)使用乘積規(guī)則和鏈規(guī)則給出的：

f'（x）=K（r/2-1）x^r/2-2e^-x/2-（K/2）x^r/2-1e^-x/2

我們將這個(gè)導(dǎo)數(shù)設(shè)置為零，并將表達(dá)式放在右側(cè)：

0=152>K x^r/2-1e^-x/2[（r/2-1）x^-1-1/2]

由于常數(shù)170 K，171是指數(shù)函數(shù)和x^r/2-1都是非零的，我們可以用這些表達(dá)式劃分方程的兩邊。然后我們有：

0=（r/2-1）x^-1-1/2

將等式的兩邊乘以2：

0=（r-2）x^-1-1

因此，1=（r-2）x^-1，我們得出結(jié)論，x=r-2。這是沿著水平軸發(fā)生模式的點(diǎn)。它表示卡方分布峰值的x值。

如何用微積分找到拐點(diǎn)

曲線的另一個(gè)特征涉及曲線的方式。曲線的一部分可以是凹形的，如大寫U.曲線也可以是凹形的，并且形狀像交叉符號(hào)∩。曲線從凹向下變?yōu)榘枷蛏?，反之亦然，我們有一個(gè)拐點(diǎn)。

函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)檢測(cè)函數(shù)圖的凹度。如果二階導(dǎo)數(shù)為正，則曲線為凹形。如果二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則曲線為凹下。當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)等于零且函數(shù)圖改變凹度時(shí)，我們有一個(gè)拐點(diǎn)。

為了找到圖的拐點(diǎn)，我們：

計(jì)算我們函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f''（x）。
將此二階導(dǎo)數(shù)設(shè)置為零。
求解前一步中x的方程。

卡方分布的拐點(diǎn)257258

現(xiàn)在我們看到如何通過(guò)上述步驟進(jìn)行卡方分布。我們從區(qū)分開(kāi)始。從以上工作中，我們看到我們功能的一階導(dǎo)數(shù)是：

2646f f and and 39;（266x267>）=268 K 269>（r/2-1）270 x x 271 r/2-2 273 273>（r/2-1）277 x 276 x/2 277 x/2 277 x/2 278-277 278-279（280 K/2 K/2 281）（）

我們?cè)俅螀^(qū)分，使用產(chǎn)品規(guī)則兩次。我們有：

f''（r/2-1）（r/2-2-2）304 x 305 306r/2-3 307 e 309 e^-x/2-（K/2）（r/2-1）（r/2-1）x^r/2-2xK（r/2-2-2-1）（r/2-1）（r/2-1）^x/2

^r/2-1e^-x/2-（K/2）（r/2-1）x^r/2-2e^-x/2

我們把它設(shè)置為零，把兩邊除以346 Ke 347-348-x/2349

354 x 357 x 358 r/2-3 359 360 361-（1/2）（r/2-1）362 x 363 x 364 r/2-2 364 x 364 x 364 r/2-2 36366 367 367 368+369（1 370/371-2-1）（r/2-2）356 x 357 x 357 x 357 x 357 x 358 x 358 x 358 x 358 x 358 x 358 x 358 x 357 x/2-3（r/2-2）r/2-1^{-（1/2）（（1/2）（（1/2）（1/2）（（1 378 r 379/2-1）380 x 381 r/2-2 383}

通過(guò)結(jié)合我們有的類似術(shù)語(yǔ)：

（r/2-1）（r/2-2）x^r/2-3-（r/2-1）x^r/2-2+（1/4）x^r/2-1

將兩側(cè)乘以4x^3-r/2，這給了我們：

0=（r-2）（r-4）-（2r-4）x+x^2.^{幼兒園健康小知識(shí)}

現(xiàn)在可以使用二次公式來(lái)求解x.

450 x 451>[（2r-4）452>+/-[（2r-4）454>2-4（r-2）（r-4）]^1/2]/2

我們將條款擴(kuò)展到1/2功率，請(qǐng)參閱以下內(nèi)容：

（4r²-16r+16）-4（r²-6r+8）=8r-16=4（2r-4）

這意味著：

482 x 483>[（2r-4）484>+/-[（4（2r-4）]^1/2]/2=（r-2）+/-[2r-4]^1/2

由此我們看到有兩個(gè)拐點(diǎn)。此外，這些點(diǎn)關(guān)于分布模式是對(duì)稱的，因?yàn)椋╮-2）在兩個(gè)拐點(diǎn)之間的中間位置。