如何推導組合公式
來源:教育資源網
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發(fā)布時間:2020-12-03 08:01:34
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在看到教科書上印刷或老師在板上書寫的公式后，有時令人驚訝地發(fā)現，許多這些公式可以從一些基本的定義和仔細的思考中得出。在檢查組合公式時，概率尤其如此。這個公式的推導實際上只是依賴于乘法原理。
乘法原理
假設有一項任務要做，這個任務總共分為兩個步驟。第一步可以以k的方式完成，第二步可以以n的方式完成。這意味著將這些數字相乘在一起后，執(zhí)行任務的方式數量nk。
例如，如果您有十種冰淇淋可供選擇，三種不同的藥水，您可以制作多少一勺，一個藥水周日？乘以10得到30個星期日。
形成排列
現在，使用乘法原理來推導取自一組n元素的r元素的組合數的公式。令P（n，r）表示來自一組n和C（n，r）r元素的置換數>表示來自一組n元素的r元素的組合數。
考慮從總共n形成r個元素的排列時會發(fā)生什么。把這個看作是一個兩步過程。首先，從一組n中選擇一組r元素。這是一個組合，有C（n，r）方法可以做到這一點。該過程的第二步是對r元素進行排序，其中第一個選擇r，第二個選擇r-1，r-2，倒數第二個選擇2個，**一個選擇1個。根據乘法原理，有rx（r-1）x。x 2 x 1=r！方法來做到這一點。這個公式是用因子符號寫成的。
公式
的推導為了概括，P（n，r），從總共中形成r元素排列的方式數量n由下式確定：
- 在C（n，中的任何一個中，在總共n中形成r元素的組合r）方式
- 排序這些r元素r中的任何一個！方式。
通過乘法原理，形成置換的方式的數目是P（n，r）=C（n，r）xr！。
使用置換公式P（n，r）=n！/（n-r）！，可以代入上述公式青春期健康知識講座：
n！/（n-r）！=C（n，r）r！。
現在解決這個問題，組合的數量，C（n，r），并看到C（n，r）=n！/[r！（n-r）！].
如圖所示，一點點思想和代數可以走很長的路。概率和統計中的其他公式也可以通過仔細應用定義來推導出來。
