什么是負(fù)二項(xiàng)分布？

負(fù)二項(xiàng)分布是與離散隨機(jī)變量一起使用的概率分布。這種類型的分布涉及為了獲得預(yù)定數(shù)量的成功而必須進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)。正如我們將看到的，負(fù)二項(xiàng)分布與二項(xiàng)分布有關(guān)。此外，這種分布概括了幾何分布。

設(shè)置

我們將首先查看導(dǎo)致負(fù)二項(xiàng)分布的設(shè)置和條件。其中許多條件與二項(xiàng)設(shè)置非常相似。

1. 我們有一個(gè)伯努利實(shí)驗(yàn)。這意味著我們進(jìn)行的每一次試驗(yàn)都有一個(gè)明確的成功和失敗，這是**的結(jié)果。無論我們執(zhí)行多少次實(shí)驗(yàn)，成功的概率都是恒定的。我們用17 p表示這個(gè)恒定的概率。18 19 20實(shí)驗(yàn)重復(fù)21 X獨(dú)立試驗(yàn)，意味著一項(xiàng)試驗(yàn)的結(jié)果對后續(xù)試驗(yàn)的結(jié)果沒有影響。

這三個(gè)條件與二項(xiàng)式分布中的條件相同。不同之處在于二項(xiàng)式隨機(jī)變量具有固定數(shù)量的試驗(yàn)n。**X的值是0,1，2，…，n，所以這是一個(gè)有限分布。

負(fù)二項(xiàng)分布涉及直到我們成功r之前必須發(fā)生的試驗(yàn)次數(shù)X。r是我們在之前選擇的整數(shù)我們開始進(jìn)行試驗(yàn)。隨機(jī)變量X仍然是離散的。但是，現(xiàn)在隨機(jī)變量可以取X=r，r+1，r+2。。。這個(gè)隨機(jī)變量是可數(shù)無限的，因?yàn)樵谖覀儷@得r成功之前可能需要任意長的時(shí)間。

示例

幫助理解負(fù)二項(xiàng)分布離子，值得考慮一個(gè)例子。假設(shè)我們翻轉(zhuǎn)一個(gè)公平的硬幣，我們問這個(gè)問題，"我們在第一個(gè)X硬幣翻轉(zhuǎn)中得到三個(gè)頭的概率是多少？"這種情況需要負(fù)二項(xiàng)式分布。

硬幣翻轉(zhuǎn)有兩種可能的結(jié)果巴西小知識，成功的概率是恒定的1/2，并且它們彼此獨(dú)立的試驗(yàn)。我們要求在X硬幣翻轉(zhuǎn)后獲得前三個(gè)頭的概率。因此，我們必須至少翻轉(zhuǎn)硬幣三次。然后我們繼續(xù)翻轉(zhuǎn)，直到第三個(gè)頭出現(xiàn)。

為了計(jì)算與負(fù)二項(xiàng)分布相關(guān)的概率，我們需要更多信息。我們需要知道概率質(zhì)量函數(shù)。

概率質(zhì)量函數(shù)

負(fù)二項(xiàng)分布的概率質(zhì)量函數(shù)可以稍微考慮一下來開發(fā)。每個(gè)試驗(yàn)的成功概率由p給出。由于只有兩種可能的結(jié)果，這意味著概率失敗是恒定的（1-p）。

x和最終試驗(yàn)必須發(fā)生第r次成功。之前的x-1試驗(yàn)必須包含r-1成功?？赡馨l(fā)生的方式數(shù)量由組合的數(shù)量給出：

C（x-1，r-1）=（x-1）！/[（r-1）！（x-r）！]。

除此之外，我們還有獨(dú)立的事件，所以我們可以將概率乘以一起。將所有這些放在一起，我們得到概率質(zhì)量函數(shù)

f（x）=C（x-1，r-1）p^r（1-p）^x-r。

發(fā)行名稱

我們現(xiàn)在能夠理解為什么這個(gè)隨機(jī)變量有一個(gè)否定的我們上面遇到的組合數(shù)量可以通過設(shè)置x-r=k:來編寫

（x-1）！/[（r-1）?。?em>x-r）！]=（x+k-1）！/[（r-1）！k！]=（r+k-1）（x+k-2）。（r+1）（r）/k！=（-1）^k（-r）（-r-1）。（-r-（k+1）/k！。

在這里，我們看到負(fù)二項(xiàng)式系數(shù)的出現(xiàn)，當(dāng)我們將二項(xiàng)式表達(dá)式（a+b）提升到負(fù)冪時(shí)使用該系數(shù)。

Mean

分布的均值很重要，因?yàn)樗潜硎痉植贾行牡囊环N方式。這種類型的隨機(jī)變量的均值由其期望值給出，等于r/p。我們可以通過使用此分布的矩生成函數(shù)仔細(xì)證明這一點(diǎn)。

直覺也指導(dǎo)我們這個(gè)表達(dá)式。假設(shè)我們進(jìn)行一系列試驗(yàn)n直到我們獲得r成功。然后我們再次這樣做，只是這次需要n試驗(yàn)。我們一直在繼續(xù)，直到我們有大量的試驗(yàn)組n=n+n+。+196 n 197

這些k試驗(yàn)中的每一個(gè)都包含r成功，因此我們總共有k r成功。如果N很大，那么我們會(huì)期望看到大約Np成功。因此，我們將它們等同在一起并具有kr=Np。

我們做了一些代數(shù)，發(fā)現(xiàn)N/k=r/p。這個(gè)等式左側(cè)的分?jǐn)?shù)是我們每個(gè)k試驗(yàn)組。換句話說，這是進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的預(yù)期次數(shù)，這樣我們總共有r成功。這正是我們希望找到的期望。我們看到這一點(diǎn)等于公式r/p.

方差

負(fù)二項(xiàng)分布的方差也可以通過使用矩生成函數(shù)來計(jì)算。當(dāng)我們這樣做時(shí)，我們看到這個(gè)分布的方差由以下公式給出：

r（1-p）/p²

矩生成函數(shù)

這種類型的隨機(jī)變量的矩生成函數(shù)非常復(fù)雜?；叵胍幌?，矩生成函數(shù)被定義為期望值E[E^tX]。通過將此定義與我們的概率質(zhì)量函數(shù)一起使用，我們有：

M（t）=E[E^{t x}]=∑（x-1）！/[（r-1）！（x-r）！]e^tXp^r（1-p）^x-r

在一些代數(shù)之后，這變成M（t）=（pe^t）^r[1-（1-p）e^t]^-r

與其他分布的關(guān)系

我們已經(jīng)在上面看到負(fù)二項(xiàng)分布在許多方面與二項(xiàng)分布是如何相似的。除了這種聯(lián)系之外，負(fù)二項(xiàng)分布是幾何分布的更一般版本。

幾何隨機(jī)變量X計(jì)算第一次成功發(fā)生之前所需的試驗(yàn)次數(shù)。很容易看出這正是負(fù)二項(xiàng)分布，但r等于1。

存在負(fù)二項(xiàng)分布的其他公式。一些教科書將X定義為直到r失敗發(fā)生的試驗(yàn)次數(shù)。

示例問題

我們將看一個(gè)示例性問題，看看如何使用負(fù)二項(xiàng)分布。假設(shè)籃球運(yùn)動(dòng)員是80%的自由投球運(yùn)動(dòng)員。此外，假設(shè)制作一個(gè)免費(fèi)的throw獨(dú)立于制作下一個(gè)。對于這個(gè)玩家來說，第八個(gè)籃子是在第十次自由投擲時(shí)制作的概率是多少？

我們看到我們有一個(gè)負(fù)二項(xiàng)分布的設(shè)置。成功的恒定概率是0.8，所以失敗的概率是0.2。當(dāng)r=8時(shí)，我們想要確定X=10的概率。

我們將這些值插入到概率質(zhì)量函數(shù)中：

f（10）=C（10-1,8-1）（0.8）⁸（0.2）²=36（0.8）⁸（0.2）²，約為24%。

然后我們可以問這個(gè)玩家制作8個(gè)之前的平均投擲次數(shù)是多少。由于預(yù)期值是8/0.8=10，所以這是射擊次數(shù)。