科普寫作 平方和公式快捷方式
樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算通常表示為分?jǐn)?shù)。該分?jǐn)?shù)的分子涉及與平均值的平方偏差之和。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，這個總平方和的公式是
∑（x-x?）2
這里符號x?是指樣本均值，符號∑告訴我們將所有i的平方差（x-x?）相加。
雖然此公式適用于計(jì)算，但有一個等效的快捷公式不要求我們首先計(jì)算樣本均值。平方和的快捷公式是
∑（x2）-（∑x）2/n
這里變量n是指樣本中的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)。
標(biāo)準(zhǔn)公式示例
要查看此快捷方式公式的工作原理，我們將考慮一個使用兩個公式計(jì)算的示例。假設(shè)我們的樣本是2,4,6,8。樣本平均值是（2+4+6+8）/4=20/4=5。現(xiàn)在我們用平均值5計(jì)算每個數(shù)據(jù)點(diǎn)的差值。
- 2–5=-3
- 4–5=-1
- 6–5=1
- 8–5=3
我們現(xiàn)在將這些數(shù)字中的每一個平方并將它們加在一起。（-3）2+（-1）2+12+32=9+1+9=20。
快捷公式示例
現(xiàn)在，我們將使用相同的數(shù)據(jù)集：2、4、6、8，并使用快捷公式確定平方和。我們首先對每個數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行平方并將它們加在一起：22+42+62+82=4+16+36+64=120。
下一步是將所有數(shù)據(jù)加在一起并將該總和平方：（2+4+6+8）2=400。我們將其除以數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量以獲得400/4=100。
我們現(xiàn)在從120中減去這個數(shù)字。這給我們平方偏差的總和是20。這正是麻木我們已經(jīng)從另一個公式中找到了。
這是如何工作的？
許多人只會接受面值的公式，并不知道這個公式為何起作用。通過使用一點(diǎn)點(diǎn)代數(shù)，我們可以看出為什么這個捷徑公式相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)的傳統(tǒng)計(jì)算平方偏差之和的方法。
盡管現(xiàn)實(shí)世界數(shù)據(jù)集中可能有數(shù)百個（如果不是數(shù)千個）值，但我們將假設(shè)只有三個數(shù)據(jù)值：x，x，x。我們在這里看到的可以擴(kuò)展到具有數(shù)千個的數(shù)據(jù)集的點(diǎn)。
我們首先注意到（x+x+x）=3 x?。表達(dá)式∑（x-x?）2=（x-x?）2+（x-x?）2+（x-x?）2。
我們現(xiàn)在使用基本代數(shù)中的事實(shí)：（a+b）2=a2+2ab+b2知識產(chǎn)權(quán)與健康中國觀后感。這意味著（x-x?）2=x2-2x x?+x?2科普寫作。我們這樣做是為了我們總結(jié)的另外兩個條件，我們有：
x2-2x x?+x?2+x2-2x x?+x?2+x2-2x x?+x?2。
我們重新排列并有：
x2+x2+x2+3x?2-2x?（x+x+x）。
通過重寫（x+x+x）=3x?，上面變成：
x2+x2+x2-3x?2。
現(xiàn)在，由于3x?2=（x+x+x）2/3，我們的公式變?yōu)椋?/p>
x 192 2 193+x 194 2 195+x 196 2 197-（x+x+x）198 2 199/3
這是上面提到的通式的特例：
∑（x2）-（∑x）2/n
這真的是捷徑嗎？
似乎這個公式并不是真正的捷徑。畢竟，在上面的例子似乎有同樣多的計(jì)算。部分原因與我們只看了一個很小的樣本量有關(guān)。
隨著我們增加樣本的大小，我們看到快捷公式將計(jì)算數(shù)量減少了大約一半。我們不需要從每個數(shù)據(jù)點(diǎn)減去平均值，然后將結(jié)果平方。這**減少了業(yè)務(wù)總數(shù)。
