矢量數(shù)學(xué)導(dǎo)論

這是使用矢量的基本介紹，盡管希望相當(dāng)全面。矢量以從位移，速度和加速度到力和場的各種方式表現(xiàn)出來。本文致力于向量的數(shù)學(xué)，它們在特定情況下的應(yīng)用將在別處討論。

Vectors and Scalars

向量量或向量不僅提供有關(guān)數(shù)量級的信息，而且還提供有關(guān)數(shù)量方向的信息。當(dāng)向房子發(fā)出指示時，它不足以說它'距離10英里，但還必須提供這10英里的方向以使信息有用。作為向量的變量將用粗體變量表示，盡管通常看到在變量上方用小箭頭表示的向量。

正如我們所說的那樣，另一座房子距離-10英里，矢量的大小總是一個正數(shù)，或者更確切地說矢量的"長度"的**值（盡管數(shù)量可能不是長度，它可能是速度，加速度，力等）。矢量前面的負(fù)數(shù)不't表示幅度的變化，而是矢量的方向。

在上面的例子中，距離是標(biāo)量（10英里），但位移是矢量量（東北10英里）。類似地，速度是標(biāo)量，而速度是矢量量。

一個單位矢量是一個幅度為1的矢量。表示單位向量的向量通常也是粗體字，盡管它上面有一個carat（^）來表示變量的單位性質(zhì)。當(dāng)用carat編寫時，單位向量x通常被讀取為"x-hat"因為carat看起來像變量上的帽子。

零向量，或零向量，是一個向量零的幅度。本文寫成0。

矢量分量

矢量通常定向在坐標(biāo)系上，其中***的是二維笛卡爾平面。笛卡爾平面具有標(biāo)記為x的水平軸和標(biāo)記為y的垂直軸。物理中矢量的一些**應(yīng)用需要使用三維空間，其中軸是x，y和z.本文將處理主要是二維系統(tǒng)，雖然這些概念可以在沒有太多麻煩的情況下仔細(xì)擴展到三個維度。

多維坐標(biāo)系中的矢量可以分解為它們的分量矢量。在二維情況下，這導(dǎo)致x分量和y分量。將矢量分解為其組件時，矢量是組件的總和：

F=F+F

78>theta 79>FFF

F/F=costhetaandF/F=sintheta這給了我們
F=Fcostheta和F=Fsintheta

請注意，這里的數(shù)字是矢量的大小。我們知道組件的方向，但是我們重新嘗試找到它們的大小，所以我們剝離方向信息并執(zhí)行這些標(biāo)量計算來計算大小。三角測量法的進一步應(yīng)用可以用來找到這些量之間的其他關(guān)系（如切線），但我認(rèn)為'現(xiàn)在已經(jīng)足夠了。

多年來，學(xué)生學(xué)習(xí)的**數(shù)學(xué)是標(biāo)量數(shù)學(xué)。如果你北行5英里，東行5英里，你會走10英里。添加標(biāo)量會忽略有關(guān)方向的所有信息。

矢量是這樣操縱的mewhat不同。操縱它們時必須始終考慮方向。

添加組件

當(dāng)你添加兩個向量時，就好像你把向量放在了首尾相連的地方，創(chuàng)建了一個從起點到終點的新向量。如果矢量具有相同的方向，那么這只意味著增加幅度，但如果它們具有不同的方向，它可能變得更加復(fù)雜。

您通過將矢量分解為它們的組件，然后添加組件來添加矢量，如下所示：

a+b=c
a+a+b+b=
（a+b）+（a+b）=c+c

這兩個x分量將導(dǎo)致新變量的x分量，而兩個y分量將導(dǎo)致新變量的y分量。

矢量加法的屬性

添加矢量的順序無關(guān)緊要。實際上，標(biāo)量加法的幾個屬性適用于矢量加法：

矢量加法的同一性特性182 a 183+/1840 185 a 187矢量加法的逆特性188 a 189+-190 a 191 a 192 a 193-194 a 195 0 197矢量加法的反射特性198 a 199 a 200 a 201矢量加法的交換特性202 a 203+

可以在向量上執(zhí)行的最簡單的操作是將其乘以標(biāo)量。這個標(biāo)量乘法改變了矢量的大小。在其他字，它使矢量更長或更短。

乘以負(fù)標(biāo)量時，生成的燃?xì)庑≈R矢量將指向相反的方向。

兩個向量的標(biāo)量積是將它們相乘以獲得標(biāo)量的一種方法。這被寫為兩個向量的乘法，中間的點表示乘法。因此，它通常被稱為兩個向量的點積。

要計算兩個矢量的點積，請考慮它們之間的角度。換句話說，如果他們共享相同的起點，他們之間的角度測量（theta）會是什么。點產(chǎn)品定義為：

a*b=abcostheta

ababba

在矢量垂直（ortheta=90度）的情況下，costheta將為零。因此，垂直矢量的點積總是零。當(dāng)向量平行時（ortheta=0度），costheta為1，因此標(biāo)量積只是幅度的乘積。

這些簡潔的小事實可以用來證明，如果你知道這些組件，你可以用（二維）方程完全消除對theta的需求：

a*b=a b+a b

向量積以axb的形式寫入，通常稱為兩個向量的交叉積。在這種情況下，我們是乘以矢量，而不是獲得標(biāo)量，我們將得到矢量量。這是我們要處理的矢量計算中最棘手的一個，因為它是不是可換的，并且涉及使用dreaded右手規(guī)則，我將得到不久。

計算幅度

同樣，我們考慮從同一點繪制的兩個矢量，它們之間的角度theta。我們總是采取最小的角度，所以theta將始終在0到180的范圍內(nèi)，因此結(jié)果永遠(yuǎn)不會為負(fù)。所得矢量的大小確定如下：

如果346 c 347 a 349 x 350 b 351，那么352 c 353 ab 355 sin 356 theta 357

平行（或反平行）矢量的矢量積總是零363

矢量方向369370

矢量積將垂直于從這兩個矢量創(chuàng)建的平面。如果您將平面描繪為平坦在桌子上，則問題會變成結(jié)果矢量是向上（從我們的角度來看，表格的"out"）還是向下（或"進入"表格，從我們的角度來看）。

可怕的右手規(guī)則

為了弄清楚這一點，您必須應(yīng)用所謂的右手規(guī)則。當(dāng)我在學(xué)校學(xué)習(xí)物理學(xué)時，我厭惡右手規(guī)則。每次我使用它時，我都必須拉出這本書來看看它的工作原理。希望我的描述比我介紹的描述更直觀。

如果你有388 a 389 x 390 b 391，你將右手沿著392 b 393的長度，這樣你的手指（拇指除外）可以彎曲指向394 a 395。換句話說，您正在嘗試在手掌和右手的四個手指之間制作角度theta。在這種情況下，拇指會直接向上粘貼（或者如果您嘗試將其粘貼到計算機上，則會伸出屏幕）。你的指關(guān)節(jié)大致與兩個矢量的起點對齊。**不是't必不可少，但我希望你從我開始就明白了在't有一張圖片可以提供。

但是，如果您正在考慮bxa，則會執(zhí)行相反的操作。您將右手沿著a并將手指沿著b指向。如果試圖在電腦屏幕上做到這一點，你會發(fā)現(xiàn)這是不可能的，所以用你的想象力。你會發(fā)現(xiàn)，在這種情況下，你富有想象力的拇指指向電腦屏幕。這是所得矢量的方向。

右手規(guī)則顯示以下關(guān)系：

418 a 419 x 420 b 421-422 b 423 x 424 a 425

cabc

436 c 437 a b 439-440 a b 441 c 442 a b 444-445 a b 446 c 447 a b 449-450 a b 451

abccc

**一句話

在更高層次上，矢量可以變得非常復(fù)雜。大學(xué)的整個課程，如線性代數(shù)，花費大量的時間來矩陣（我在本介紹中很好地避免了），向量和向量空間。這種詳細(xì)程度超出了本文的范圍，但這應(yīng)該為物理教室中執(zhí)行的大多數(shù)矢量操作提供必要的基礎(chǔ)。如果您打算更深入地研究物理學(xué)，您將在繼續(xù)接受教育時介紹更復(fù)雜的矢量概念。

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